Question

3．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且$\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{2a-c}{b}$，
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{3}$，求a²+c²的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角和定理和内角的范围求出cosB的值，由A的范围和特殊角的三角函数值求出B；
（Ⅱ）由b和sinB的值求外接圆的半径，根据正弦定理表示出a和c，代入所求的式子中，利用二倍角的余弦函数公式、两角差的余弦函数公式化简，利用两角差的正弦函数公式化简，根据角A的范围求出正弦函数的值域，可求出a²+c²的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，$\frac{cosC}{cosB}=\frac{2a-c}{b}$，
根据正弦定理得，$\frac{cosC}{cosB}=\frac{2sinA-sinC}{sinB}$，
∴sinBcosC=2sinAcosB-cosBsinC，
sin（B+C）=2sinAcosB，
又sin（B+C）=sinA≠0，则cosB=$\frac{1}{2}$，
由0＜B＜π得，B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）设外接圆的半径为R，由（1）得2R=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，则R=1，
且C=π-A-B=$\frac{2π}{3}-A$，0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
由正弦定理得，a=2sinA，c=2sinC，
∴a²+c²=4（sin²A+sin²C）=2（1-cos2A+1-cos2C）
=4-2cos2A-2cos2（$\frac{2π}{3}-A$）
=4-2cos2A-2cos（$\frac{4π}{3}-2A$）=4-2cos2A+2cos（$\frac{π}{3}-2A$）
=4-2cos2A+2（$\frac{1}{2}$cos2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A）
=4-cos2A+$\sqrt{3}$sin2A=4+2sin（$2A-\frac{π}{6}$）
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴$-\frac{π}{6}＜$$2A-\frac{π}{6}$$＜\frac{7π}{6}$，
则$-\frac{1}{2}＜sin（2A-\frac{π}{6}）≤1$，
∴4+2sin（$2A-\frac{π}{6}$）∈（3，6]，
故a²+c²的取值范围是（3，6]．

点评 本题考查正弦定理的灵活应用，两角和与差的正弦、余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的性质，注意三角形内角的范围，属于中档题．