Question

14．α，β都是锐角，且sinα=$\frac{5}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，则cosβ的值是（　　）

• A． -$\frac{33}{65}$
• B． $\frac{16}{65}$
• C． $\frac{56}{65}$
• D． $\frac{63}{65}$

Answer 1

分析 由α，β都是锐角求出α+β的范围，由题意和平方关系求出cosα和sin（α+β），由两角差的余弦公式求出cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：∵α，β都是锐角，∴α+β∈（0，π），
∵sinα=$\frac{5}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{3}{5}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-$\frac{4}{5}$×$\frac{12}{13}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{5}{13}$=$-\frac{33}{65}$，
故选：A．

点评 本题考查两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，注意角之间的关系以及三角函数值的符号，属于中档题．