Question

已知函数f（x）=

2-( 1 3 )x，x≤0 1 2 x2-x+1，x＞0

（1）当x≤0时，解不等式f（x）≥-1；
（2）写出该函数的单调区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-m恰有3个不同零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用,其他不等式的解法

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：（1）由x≤0时的函数表达式，通过指数函数的单调性解出不等式即可；
（2）画出函数f（x）的图象，通过图象观察即可；
（3）作出直线y=m，函数g（x）=f（x）-m恰有3个不同零点等价于函数y=m与函数f（x）的图象恰有三个不同公共点．由图象观察即可得到．

解答： 解：（1）当x≤0时，f(x)=2-(

1

3

)x≥-1，
解得x≥-1，
综上，-1≤x≤0，
故解集为[-1，0]；
（2）函数f（x）的图象如右图，
函数f（x）的单调递减区间是（0，1），
单调增区间是（-∞，0）及（1，+∞）；
（3）作出直线y=m，
函数g（x）=f（x）-m恰有3个不同零点等价于
函数y=m与函数f（x）的图象恰有三个不同公共点．
由函数f(x)=

2-( 1 3 )x，x≤0 1 2 x2-x+1，x＞0

又f（0）=1，f(1)=

1

2

，
∴m∈(

1

2

，1)．

点评：本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性，以及函数的图象交点个数，注意运用数形结合的思想方法，是迅速解题的关键．