Question

已知函数f（x）=a（x-2）（x-

a-1

a

），其中a≠0．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）在区间[0，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=1时，f（x）=（x-2）x=（x-1）²-1，由此能求出f（x）在区间[0，3]上的最大值和最小值，
（Ⅱ）当a＞0时，原不等式同解于（x-2）（x-

a-1

a

）＞0，当a＜0时，原不等式同解于（x-2）（x-

a-1

a

）＜0，由此能求出当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜

a-1

a

}；当-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|2＜x＜

a-1

a

}；当a=-1时，不等式的解集为∅；当a＜-1时，不等式的解集为{

a-1

a

＜x＜2}．

解答： 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=（x-2）x=（x-1）²-1，
∴函数f（x）在（0，1）上是单调函数，在（1，3）上单调递增，
∴f（x）在[0，3]上的最小值为f（1）=-1，
又f（3）＞f（0），∴f（x）在[0，3]上的最大值为f（3）=3．
（Ⅱ）（1）当a＞0时，原不等式同解于（x-2）（x-

a-1

a

）＞0，
∵2-

a-1

a

=

a+1

a

＞0，
∴

a-1

a

＜2，
此时f（x）＞0的解集为{x|x＞2或x＜

a-1

a

}，
（2）当a＜0时，原不等式同解于（x-2）（x-

a-1

a

）＜0，
由2-

a-1

a

=

a+1

a

，得：
①若-1＜a＜0，则2＜

a-1

a

，
此时，f（x）＞0的解集为{x|2，x＜

a-1

a

}，
②若a=-1，原不等式无解．
③若a＜-1，则2＞

a-1

a

此时f（x）＞0的解集为{x|

a-1

a

＜x＜2}．
综上，当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜

a-1

a

}；
当-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|2＜x＜

a-1

a

}；
当a=-1时，不等式的解集为∅；
当a＜-1时，不等式的解集为{

a-1

a

＜x＜2}．

点评：本题考查函数有闭区间上的最大值和最小值的求法，考查参数不等式的解法，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．