Question

已知△ABC的面积为3，设

AB

和

AC

的夹角为θ．
（1）若

AB

•

AC

=6，求θ的值；
（2）若

π

4

≤θ≤

π

2

，求函数f（θ）=2sin²（

π

4

+θ）-

3

cos2θ的最大值及此时θ的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,平面向量数量积的运算,数量积表示两个向量的夹角

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）由三角形的面积公式和向量的夹角公式，得到方程组，解得即可．
（2）利用倍角公式和正弦函数的和差公式，计算即可．

解答： 解：（1）由已知得，

1 2 | AB || AC |sinθ=3 | AB| | AC |cosθ=6

，
解得tanθ=1，又θ∈[0，π]，
故θ=

π

4

，
（2）∵f（θ）=2sin²（

π

4

+θ）-

3

cos2θ=1-cos[2（

π

4

+θ）]-

3

cos2θ=sin2θ-

3

cos2θ+1=2sin（2θ-

π

3

），
∵

π

4

≤θ≤

π

2

，
∴

π

6

≤2θ-

π

3

≤

2

3

π，
当2θ-

π

3

=

π

2

，即θ=

5π

12

时，f（θ）_max=3，

点评：本题主要考查了向量的夹角公式，以及三角函数最值问题，属于基础题．