Question

已知y=f（x）的定义域（0，+∞）且满足以下三个条件：
①对任意实数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）成立；
②f（x）在定义域上单调递减；
③f（2）=-1．
（Ⅰ）求f（1），f（4）的值；
（Ⅱ）求不等式f（x²-x）≤f（3x+2）+2的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据条件，利用赋值法即可求f（1），f（4）的值；
（Ⅱ）将不等式f（x²-x）≤f（3x+2）+2进行等价转化，利用函数的单调性即可求出不等式的解集．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（mn）=f（m）+f（n），
∴当m=n=1时f（1×1）=f（1）+f（1）=f（1），即f（1）=0，
∵f（2）=-1，则f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=-2，
即f（1）=0，f（4）=-2；
（Ⅱ）不等式f（x²-x）≤f（3x+2）+2等价为f（x²-x）-2≤f（3x+2），
即f（x²-x）+f（4）≤f（3x+2），
则f[4（x²-x）]≤f（3x+2），
∵f（x）在定义域上单调递减；
∴不等式满足

x2-x≥3x+2 3x+2＞0

，
即

x2-4x-2≥0 x＞- 2 3

，则

x≥2+ 6 或x≤2- 6 x＞- 2 3

，
即x≥2+

6

，
即不等式的解集为[2+

6

，+∞）．

点评：本题主要考查函数值的计算以及不等式的求解，利用抽象函数的性质，结合赋值法是解决本题的关键．