Question

已知焦点在x轴上的椭圆C过点（0，1），且c=

3

b，Q为椭圆C的左顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点（-

6

5

，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（理）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得\Delta QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．
（文）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由已知得a²=b²+c²，b=1，c=

3

b，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）（理）由（1）得Q（-2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当直线l与x轴不垂直时，由题意设直线AB的方程为y=k（x+

6

5

），k≠0，由

y=k(x+ 6 5 ) x2 4 +y2=1

，得（25+100k²）x²+240k²x+144k²-100=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量数量积，结合已知条件能推导出当直线l与x轴不垂直时，不存在直线l，使得△QAB为等腰三等形．
（2）（文）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=-

6

5

，由

x=- 6 5 x2 4 +y2=1

，得A（-

6

5

，

4

5

），B（-

6

5

，-

4

5

），由此能示出∠AQB=

π

2

．

解答： 解：（1）设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，且a²=b²+c²，
∵椭圆C过点（0，1），且c=

3

b，
∴由题意知b=1，c=

3

b，解得a²=4，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）（理）由（1）得Q（-2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线l与x轴不垂直时，由题意设直线AB的方程为y=k（x+

6

5

），k≠0，
由

y=k(x+ 6 5 ) x2 4 +y2=1

，得（25+100k²）x²+240k²x+144k²-100=0，
∵点（-

6

5

，0）在椭圆C的内部，∴△＞0，
x1+x2=-

240k2

25+100k2

，x1x2=

144k2-100

25+100k2

，
∵

QA

=（x₁+2，y₁），

QB

=(x2+2，y2)，y1=k(x1+

6

5

)，y2=k(x2+

6

5

)，
∴

QA

•

QB

=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂
=（x₁+2）（x₂+2）+k（x1+

6

5

）•k(x2+

6

5

)
=（1+k²）x₁x₂+（2+

6

5

k2）（x₁+x₂）+4+

36

25

k2
=（1+k²）•

144k2-100

25+100k2

+（2+

6

5

k2）（-

240k2

25+100k2

）+4+

36

25

k2=0，
∴

QA

⊥

QB

，∴△OAB为直角三角形．
假设存在直线l使得△QAB为等腰三角形，则|QA|=|QB|，
取AB的中点M，连结QM，则QM⊥AB，
设点（-

6

5

，0）为N，
另一方面，点M的横坐标x_M=k（xM+

6

5

）=

6k

5+20k2

，
∴

QM

•

MN

=（

10+16k2

5+20k2

，

6k

5+20k2

）•（

6

5+20k2

，

6k

5+20k2

）
=

60+132k2

(5+20k2)2

≠0，
∴

OM

与

NM

不垂直，矛盾，
∴当直线l与x轴不垂直时，不存在直线l，使得△QAB为等腰三等形．
（2）（文）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=-

6

5

，
由

x=- 6 5 x2 4 +y2=1

，解得

x=- 6 5 y= 4 5

或

x=- 6 5 y=- 4 5

，
即A（-

6

5

，

4

5

），B（-

6

5

，-

4

5

），
则直线AQ的斜率k_AQ=1，直线BQ的斜率k_BQ=-1，
∵k_AQ•k_BQ=-1，∴AQ⊥BQ，∴∠AQB=

π

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查角的大小的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．