Question

已知函数f（x）=x-1+

a

ex

（a∈R，e为自然对数的底数）．
（1）若函数在点（0，f（0））处的切线垂直于y轴，求a的值；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′(x)=1-

a

ex

，由函数在点（0，f（0））处的切线垂直于y轴，得1-a=0，由此能求出a=1．
（2）当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）无极值；当a＞0时，由f′(x)=1-

a

ex

=0，得e^x=a，x=lna，f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-1+

a

ex

，
∴f′(x)=1-

a

ex

，
∵函数在点（0，f（0））处的切线垂直于y轴，
∴1-a=0，解得a=1．
（2）①当a≤0时，f′（x）＞0，
f（x）为（-∞，+∞）上的增函数，∴f（x）无极值；
②当a＞0时，由f′(x)=1-

a

ex

=0，得e^x=a，x=lna，
x∈（-∞，lna），f′（x）＜0，x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）在∈（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．

点评：本题考查导数的几何意义的应用，考查函数的极值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．