Question

在平面直角坐标系中，曲线C₁：x²+y²=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l：3cosθ-2sinθ=

-8

ρ

（Ⅰ）将曲线C₁上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、3倍后得到曲线C₂，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C₂的参数方程；
（Ⅱ）求C₂上一点P到l的距离的最大值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）直线l：3cosθ-2sinθ=

-8

ρ

化为3ρcosθ-2ρsinθ=-8，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入就看得出直线l的直角坐标方程．由题意得曲线C₂的直角坐标方程为

x2

4

+

y2

9

=1，即可得出曲线C₂的参数方程为

x=2cosθ y=3sinθ

（θ为参数）．
（Ⅱ） 设点P的坐标为（2cosθ，3sinθ），则点P到直线l的距离为d=

|6cosθ-6sinθ+8|

13

=

|6 2 cos(θ+ π 4 )+8|

13

，再利用余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ） 由题意知，直线l的直角坐标方程为3x-2y+8=0．
由题意得曲线C₂的直角坐标方程为

x2

4

+

y2

9

=1，
∴曲线C₂的参数方程为

x=2cosθ y=3sinθ

（θ为参数）．
（Ⅱ） 设点P的坐标为（2cosθ，3sinθ），
则点P到直线l的距离为d=

|6cosθ-6sinθ+8|

13

=

|6 2 cos(θ+ π 4 )+8|

13

，
∴当cos(θ+

π

4

)=1时，dmax=

6 26 +8 13

13

．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．