Question

如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁
（2）求B₁D与平面BCC₁B₁所成的角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接B₁C交BC₁于点E，则DE为△ABC₁的中位线，得到DE∥AC₁，从而得到AC₁∥面B₁CD．
（2）取BC中点H，连接DH，则∠DBH为B₁D与平面BCC₁B₁所成的角，即可求出B₁D与平面BCC₁B₁所成的角的正切值．

解答： （1）证明：设B₁C与BC₁交于点E，则E为BC₁的中点，连结DE，则在△ABC₁中，DE∥AC₁，
又DE?面CDB₁，AC₁?面CDB₁，∴AC₁∥平面B₁CD．
（2）解：取BC中点H，连接DH，则DH平行且等于

1

2

AC₁，
∵AC⊥平面BCC₁B₁，
∴DH⊥平面BCC₁B₁，
∴∠DBH为B₁D与平面BCC₁B₁所成的角，
∵DH=

3

2

，B₁H=

BH2+BB12

=2

5

，
∴tan∠DB1H=

DH

B1H

=

3 2

2 5

=

3 5

20

．

点评：本题考查证明线面平行的方法，求B₁D与平面BCC₁B₁所成的角的正切值，属于中档题．