Question

设函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R）其中a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值和极小值．
（2）当a=0时，不等式f（k-cosx）+f（cos²x-k²）≥0对任意x∈R恒成立．求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）由f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，知f′（x）=-3x²+4x-1，由导数的正负，确定函数的单调性，即可求出函数f（x）的极大值和极小值．
（2）当a=0时，f（x）=-x³为奇函数，在x∈R为减函数，知要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），只要cos²x-cosx≤k²-k对一切x∈R恒成立，由此能求出使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）恒成立的x取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x…（2分）
令f′（x）=-3x²+4x-1＞0，即3x²-4x+1＜0，∴

1

3

＜x＜1，…（3分）
∴f（x）的增区间为(

1

3

，1)，减区间为(-∞，

1

3

)和（1，+∞）…（4分）
∴当x=

1

3

时，极小值为f(

1

3

)=-

4

27

；当x=1时，极大值为f（1）=0…（6分）
（2）当a=0时，f（x）=-x³为奇函数，在x∈R为减函数…（7分）
∴由f（k-cosx）+f（cos²x-k²）≥0有f（k-cosx）≥-f（cos²x-k²）=f（k²-cos²x），
∴k-cosx≤k²-cos²x，即k²-k≥cos²x-cosx恒成立…（9分）
∵cos2x-cosx=(cosx-

1

2

)2-

1

4

在cosx=-1处取得最大值(-1-

1

2

)2-

1

4

=2，
∴k²-k≥2，k²-k-2≥0，k≤-1或k≥2…（10分）
∴k的取值范围为k≤-1或k≥2…（12分）

点评：本题考查求函数f（x）的极大值和极小值，求对于不等式f（k-cosx）+f（cos²x-k²）≥0对任意x∈R恒成立．求k的取值范围．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．