Question

已知函数f（x）=ax-

a

x

-2lnx（a∈R）．
（1）当a＞0时，求f（x）的单调区间；
（2）若

2e

e2+1

＜a＜1，设x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，且x₁＜1＜x₂，记m、n分别为f（x）的极大值和极小值，令z=m-n，求实数z的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间；
（2）a=

2x1

x12+1

且x₁x₂=1，由

2e

e2+1

＜a＜1，得

1

e

＜x₁＜1，z=m-n=2a（x₁-

1

x1

）-4lnx₁=4（

x12-1

x12+1

-

1

2

lnx12）（

1

e2

＜x12＜1），换元，构造函数，确定其单调性，即可求实数z的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax-

a

x

-2lnx，
∴f′（x）=

ax2-2x+a

x2

，
令g（x）=ax²-2x+a（a＞0），△=4（1-a²）
①a≥1时，△≤0，g（x）≥0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）‘
②0＜a＜1时，△＞0，令g（x）=0，则x₁=

1- 1-a2

a

，x₂=

1+ 1-a2

a

，
f（x）的单调增区间为（0，x₁），（x₂，+∞），单调减区间为（x₁，x₂）；
（2）由题意，ax₁²-2x₁+a=0，ax₂²-2x₂+a=0，
∴a=

2x1

x12+1

且x₁x₂=1
由

2e

e2+1

＜a＜1，得

1

e

＜x₁＜1，
z=m-n=2a（x₁-

1

x1

）-4lnx₁=4（

x12-1

x12+1

-

1

2

lnx12）（

1

e2

＜x12＜1）．
令t=x12，则

1

e2

＜t＜1，∴h（t）=

t-1

t+1

-

1

2

lnt，
∴h′（t）=

-(t-1)2

2t(t+1)2

＜0，
∴h（t）在（

1

e2

，1）是减函数，
∴h（1）＜h（t）＜h（

1

e2

），
∴0＜h（t）＜

2

e2+1

，
∴实数z的取值范围为（0，

8

e2+1

）．

点评：本题主要考查了函数的导数的应用：函数的导数在求解函数的极值、函数的单调性，要注意分类讨论思想及构造转化思想的应用．