Question

已知f（x）=2sin（2x+

π

6

），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期、单调区间和对称轴．
（2）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求f（x）值域．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据f（x）=2sin（2x+

π

6

），x∈R，可得它的周期，再根据正弦函数的单调区间求得f（x）的单调区间．
（2）根据x∈[-

π

4

，

π

4

]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的值域．

解答： 解：（1）由于f（x）=2sin（2x+

π

6

），x∈R，故它的周期为

2π

2

=π，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
可得函数的增区间为[kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
可得函数的减区间为[kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

]，k∈z．
（2）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴当2x+

π

6

=-

π

3

时，函数取得最小值为-

3

，
当2x+

π

6

=

π

2

时，函数取得最大值为2，
故函数的值域为[-

3

，2]．

点评：本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于基础题．