Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-3x+b

3x+1+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在R上是减函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数定义f（x）=-f（x）中的特殊值求a、b的值；
（2）按按取点，作差，变形，判断的过程来即可．
（3）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．

解答： （1）解：因为f（x）是奇函数，函数的定义域为R，所以f（0）=0，f（-1）+f（1）=0
所以

-1+b

3+a

=0，

- 1 3 +b

1+a

+

-3+b

9+a

=0，
所以a=3，b=1；
（2）证明：设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

2(3x2-3x1)

3(3x1+1)(3x2+1)

因为y=3^x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，故f（x₁）-f（x₂）＞0．
所以f（x）在R上是单调减函数
（3）解：由（2）知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
又因为f（x）是奇函数，
所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即对一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0⇒k＜-

1

3

．
所以k的取值范围是k＜-

1

3

．

点评：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．