Question

已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系．直线l的参数方程是：

x= 2 2 t+m y= 2 2 t.

（t是参数）
（1）求曲线C和直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|=

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，求实数m的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，化为ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得出直角坐标方程．由直线l的参数方程：

x= 2 2 t+m y= 2 2 t.

（t是参数），消去t可得．
（2）由x²+y²-4x=0化为（x-2）²+y²=4，可得圆C的圆心C（2，0），半径r=2．利用圆心到直线l的距离d=

r2-( |AB| 2 )2

，和点到直线的距离可得d=

|2-0-m|

2

，即可得出．

解答： 解：（1）由曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，化为ρ²=4ρcosθ，化为直角坐标方程x²+y²-4x=0．
由直线l的参数方程是：

x= 2 2 t+m y= 2 2 t.

（t是参数），消去t可得y=x-m．
（2）由x²+y²-4x=0化为（x-2）²+y²=4，可得圆C的圆心C（2，0），半径r=2．
∴圆心到直线l的距离d=

r2-( |AB| 2 )2

=

2

2

，
另一方面

|2-0-m|

2

=

2

2

，
∴|m-2|=1，解得m=1或3．

点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．