Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=

1

2

AA₁，D是棱AA₁的中点．
（Ⅰ）证明：DC₁⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC₁分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比
（Ⅲ）画出平面BDC₁与平面ABC的交线．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由题设知BC⊥CC₁，BC⊥AC，从而BC⊥平面ACC₁A₁，进而DC₁⊥BC，由此能证明平面BDC₁⊥平面BDC．
（Ⅱ）设棱锥B-DACC₁的体积为V₁，AC=1，
由题意得V1=

1

3

×

1+2

2

×1×1=

1

2

，由此能示出平面BDC₁分此棱柱所得两部分的体积的比．
（Ⅲ）延长C₁D、CA，交于点E，连结BE，直线BE就是平面BDC₁与平面ABC的交线．

解答： （Ⅰ）证明：由题设知BC⊥CC₁，BC⊥AC，CC₁∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
又DC₁?平面ACC₁A₁，∴DC₁⊥BC，
由题设知∠A₁DC₁=∠ADC=45°，
∴∠CDC₁=90°，即DC₁⊥DC，
又DC∩BC=C，∴DC₁⊥平面BDC，又DC₁?平面BDC₁，
故平面BDC₁⊥平面BDC．
（Ⅱ）解：设棱锥B-DACC₁的体积为V₁，AC=1，
由题意得V1=

1

3

×

1+2

2

×1×1=

1

2

，
又三棱锥ABC-A₁B₁C₁的体积V=1，
∴（V-V₁）：V₁=1：1，
∴平面BDC₁分此棱柱所得两部分的体积的比为1：1．
（Ⅲ）解：延长C₁D、CA，交于点E，连结BE，
直线BE就是平面BDC₁与平面ABC的交线．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查面棱柱得到两部分体积的比的求法，考查平面与平面的交线的画法．解题时要注意空间思维能力的培养．