Question

设函数f（x）=e^x-ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：f′（

x1x2

）＜0（f′（x）为函数f（x）的导函数）；
（3）设g（x）=3ax²-ax+2+a，若f（x）+e^-x≥g（x）对x∈R恒成立，求a取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由f（x）=e^x-ax+a，知f′（x）=e^x-a，再由a的符号进行分类讨论，能求出f（x）的单调区间，然后根据交点求出a的取值范围；
（2）由x₁、x₂的关系，求出f′(

x1+x2

2

)＜0，然后再根据f′（x）=e^x-a的单调性，利用不等式的性质，问题得以证明；
（3）F（x）是偶函数，可得f（x）+e^-x≥g（x）对x∈R恒成立?F（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立．分类讨论，确定函数的单调性，即可求a取值范围．

解答： （1）解：f'（x）=e^x-a．
若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．
∴a＞0，令f'（x）=0，则x=lna．
当x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）是单调减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）是单调增函数；
于是当x=lna时，f（x）取得极小值．
∵函数f（x）=e^x-ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），
∴f（lna）=a（2-lna）＜0，
即a＞e²．此时，存在1＜lna，f（1）=e＞0；
存在3lna＞lna，f（3lna）=a³-3alna+a＞a³-3a²+a＞0，
又f（x）在R上连续，故a＞e²为所求取值范围．…（4分）
（2）证明：∵

ex1-ax1+a=0 ex2-ax2+a=0

两式相减得a=

ex2-ex1

x2-x1

．
记

x2-x1

2

=s(s＞0)，则f′(

x1+x2

2

)=e

x1+x2

2

-

ex2-ex1

x2-x1

=

e x1+x2 2

2s

[2s-(es-e-s)]，
设g（s）=2s-（e^s-e^-s），则g′（s）=2-（e^s+e^-s）＜0，∴g（s）是单调减函数，
则有g（s）＜g（0）=0，而

e x1+x2 2

2s

＞0，∴f′(

x1+x2

2

)＜0．
又f'（x）=e^x-a是单调增函数，且

x1+x2

2

＞

x1x2

∴f′(

x1x2

)＜0．                         …（8分）
（3）解：设F（x）=f（x）+e^-x-g（x）=e^x+e^-x-3ax²-2
∵F（-x）=F（x），
∴F（x）是偶函数
∴f（x）+e^-x≥g（x）对x∈R恒成立?F（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立．
F′（x）=e^x-e^-x-6ax，设h（x）=（F′（x））′=e^x+e^-x-6a
∴h′（x）=e^x+e^-x=

e2x-1

ex

≥0
∴h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，h（x）≥h（0）=2-6a
①当2-6a≥0?a≤

1

3

时，h（x）≥h（0）=2-6a≥0⇒F′（x）在x∈[0，+∞）上单调递增
∴F′（x）≥F′（0）=0，
∴F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增
∴F（x）≥F（0）=0对x∈[0，+∞）恒成立
②当2-6a＜0?a＞

1

3

时，h（0）=2-6a＜0
∵h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，又h(ln6a)=

1

6a

＞0
故?x₀∈（0，+∞），使h（x₀）=0
当x∈（0，x₀）时，h（x）＜0⇒F′（x）在（0，x₀）单调递减⇒F′（x）＜F′（x）=0
当x∈（0，x₀）时，F（x）单调递减，此时，F（x）≥F（0）=0对x∈[0，+∞）不恒成立
综上，当a≤

1

3

时，F（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，即f（x）+e^-x≥g（x）对x∈R恒成立       …（14分）

点评：本题属于难题，考查分类讨论的思想，转化思想，方程思想，做题要认真仔细，方法要明，过程要严谨，能提高分析问题解决问题的能力．