Question

己知函数f（x）=（nx-n+2）•e^x（其中n∈N^*）
（Ⅰ）求f（x）在[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）若函数g（x）=（nx+2）（nx-15）（n∈N^*），求n所能取到的最大正整数，使对任意x＞0，都有2f′（x）＞g（x）恒成立．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=（nx+2）e^x，n＞0时，f（x）在[0，2]上是增函数，从而综合得出f（x）在[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）由题设：函数g（x）=n²x²-13nx-30=（nx+2）（nx-15），（n＞1，n∈N^*），得2（nx+2）•e^x＞（nx+2）（nx-15），得当x＞0时，p（x）＞0（*）恒成立，从而p（x）_min=p（ln

n

2

）=

1

2

（n-nln

n

2

+15）＞0，设h（x）=x-x（lnx-ln2）+15，故h（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，故存在x₀∈（2e²，15）使h（x₀）=0，且x∈[2，x₀]时h（x）＞0，x∈（x₀，+∞）时h（x）＜0，故所求的最大正整数n=14．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=（nx+2）e^x，
n＞0时，f′（x）=（nx+2）e^x=n（x+

2

n

）e^x，f（x）在（-

2

n

，+∞）上递增，
∴f（x）在[0，2]上是增函数，此时f（x）_max=f（2）=（n+2）•e²；
（Ⅱ）由题设：函数g（x）=（nx+2）（nx-15），（n＞1，n∈N^*），
f′（x）=（nx+2）•e^x，
当x＞0时，若2f′（x）＞g（x）恒成立，即2（nx+2）•e^x＞（nx+2）（nx-15），
∴2e^x＞（nx-15），设p（x）=2e^x-（nx-15），当x＞0时，p（x）＞0（*）恒成立，
∵p′（x）=2e^x-n，故p（x）在（0，ln

n

2

）上递减，在（ln

n

2

，+∞）递增，
故（*）?p（x）_min=p（ln

n

2

）=

1

2

（n-nln

n

2

+15）＞0，
设h（x）=x-x（lnx-ln2）+15，
则h′（x）=-ln

x

2

，
故h（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
而h（2e²）=15=15-2e²＞0，
且h（15）=15（lne²-ln

15

2

）＜0，
故存在x₀∈（2e²，15）使h（x₀）=0，且x∈[2，x₀]时h（x）＞0，x∈（x₀，+∞）时h（x）＜0，
又∵h（1）=16-ln

1

2

＞0，14＜2e²＜15，
故所求的最大正整数n=14．

点评：本题考查函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．