Question

已知函数f（x）=

x

ex

+m，m∈R．
（Ⅰ）当m=0时，求f（x）的单调区间、最大值；
（Ⅱ）设函数g（x）=|lnx|-f（x），若存在实数x₀使得g（x₀）＜0，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当m=0时，f'（x）=（xe^-x）'=e^-x-xe^-x=（1-x）e^-x，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间、最大值．
（Ⅱ）当0＜x＜1时，g（x）=-lnx-f（x），当x＞1时，g（x）=lnx-f（x），由此利用导数性质结合已知条件能求出m的取值范围．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当m=0时，f'（x）=（xe^-x）'=e^-x-xe^-x=（1-x）e^-x．（4分）
当x＜1时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（-∞，1）上是增函数；（5分）
当x＞1时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（6分）
所以f（x）的最大值为f(1)=

1

e

．（7分）
故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1），
单调递减区间为（1，+∞），最大值为

1

e

．
（Ⅱ）由已知x＞0．
当0＜x＜1时，g（x）=-lnx-f（x），
g′(x)=-

1

x

+(x-1)e-x＜0，函数g（x）在区间（0，1）上是减函数；（9分）
当x＞1时，g（x）=lnx-f（x），g′(x)=

1

x

+(x-1)e-x＞0，
函数g（x）在区间（1，+∞）上是增函数，（11分）
所以g（x）的最小值为g(1)=-

1

e

-m．（12分）
若存在实数x₀，使得g（x₀＜0），则-

1

e

-m＜0，解得m＞-

1

e

．
所以m的取值范围为(-

1

e

，+∞)．（13分）

点评：本题考查函数的单调区间、最大值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．