Question

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

16

+

y2

4

=1的左、右焦点．
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求

PF1

•

PF2

的最大值与最小值；
（2）设过定点M（0，4）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算,直线的斜率

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由椭圆的方程求出焦点坐标，设出P点坐标，得到

PF1

，

PF2

的坐标，求其数量积后结合余弦函数的值域得答案；
（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得k的初步范围，由∠AOB为锐角得到x₁x₂+y₁y₂＞0，代入根与系数关系关系后求得k的范围，最后取交集得答案．

解答： 解：（1）由椭圆

x2

16

+

y2

4

=1，得
F1(2

3

，0)，F2(-2

3

，0)，
设P（4cosα，2sinα），则

PF1

=(2

3

-4cosα，-2sinα)，

PF2

=(-2

3

-4cosα，-2sinα)，
∴

PF1

•

PF2

=16cos2α-12+4sin2α=12cos2α-8．
∴当cosα=0，即P为（0，±2）时，

PF1

•

PF2

取最小值-8；
当cosα=1，即P为（4，0）时，

PF1

•

PF2

取最大值4．
（2）由已知知直线l的斜率存在，可设l：y=kx+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入

x2

16

+

y2

4

=1得，（1+4k²）x²+32kx+48=0．
∴△=（32k）²-4（1+4k²）×48=256k²-195＞0，解得k＜-

3

2

或k＞

3

2

．
由根与系数关系得，x1+x2=-

32k

1+4k2

，x1x2=

48

1+k2

y1y2=(kx1+4)(kx2+4)=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=

16-16k2

1+4k2

，
∵∠AOB为锐角，
∴x₁x₂+y₁y₂＞0，整理得：k²＜4，即-2＜k＜2．
∴所求k的取值范围为：(-2，-

3

2

)∪(

3

2

，2)．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用把直线和圆锥曲线联立，利用根与系数关系解题，是压轴题．