Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，4S_n=a_n²+2a_n且a_n＞0，又点（a_n，b_n）在函数f（x）=2^x的图象上（其中n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•sin²（

nπ

2

）-b_n•cos²（

nπ

2

）（n∈N^*），求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）4S_n=a_n²+2a_n且a_n＞0，当n=1时，4S1=4a1=

a

2 1

+2a1，解得a₁=2．当n≥2时，利用4a_n=4（S_n-S_n-1）可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由a_n＞0，可得a_n-a_n-1=2．利用等差数列的通项公式即可得出．又点（a_n，b_n）在函数f（x）=2^x的图象上（其中n∈N^*），代入即可得出．
（2）c_n=a_n•sin²（

nπ

2

）-b_n•cos²（

nπ

2

）=2n•sin²（

nπ

2

）-4ⁿ•cos²（

nπ

2

），可得：c₁=2，c₂=-4²，c₃=6，c₄=-4⁴，…，分奇数项和偶数项分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵4S_n=a_n²+2a_n且a_n＞0，∴当n=1时，4S1=4a1=

a

2 1

+2a1，解得a₁=2．
当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=a_n²+2a_n-(

a

2 n-1

+2an-1)，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
∴数列{a_n}是等差数列，∴a_n=2+2（n-1）=2n．
又点（a_n，b_n）在函数f（x）=2^x的图象上（其中n∈N^*）．
∴bn=2an=4ⁿ．
（2）c_n=a_n•sin²（

nπ

2

）-b_n•cos²（

nπ

2

）=2n•sin²（

nπ

2

）-4ⁿ•cos²（

nπ

2

），
可得，c₁=2，c₂=-4²，c₃=6，c₄=-4⁴，
…，
∴T_2n=（c₁+c₃+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+…+c₄）
=（2×1+2×3+…+2×（2n-1））+（-4²-4⁴-…-4²ⁿ）
=2×

n(1+2n-1)

2

-

16(16n-1)

16-1

=2n²-

16

15

(16n-1)．

点评：本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．