Question

已知函数f（x）=x²+

2

x

+alnx（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（3）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x₁，x₂总有以下不等式

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]≥f（

x1+x2

2

）成立，则函数y=f（x）为区间D上的“下凸函数”．试证当a≤0时，f（x）为“下凸函数”．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,证明题,新定义,导数的综合应用

分析：（1）求出a=0时，f（x）的表达式，求导，得到单调区间，从而说明极值点；
（2）求f（x）的导数，f（x）在[1，+∞）上单调递增等价为f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即有a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立，令g（x）=

2

x

-2x2，运用导数求出g（x）的最大值，只要a不小于它即可；
（3）由新定义知，可化简f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，注意运用两数的差的平方公式和基本不等式，结合条件即可得证．

解答： （1）解：a=0时，f（x）=x²+

2

x

（x＞0）
f′（x）=2x-

2

x2

，令f′（x）=0，则x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
则x=1为f（x）的极值点．
（2）解：f′（x）=2x-

2

x2

+

a

x

（x≥1），
由f（x）在[1，+∞）上单调递增，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即2x³-2+ax≥0在[1，+∞）上恒成立，即有a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=

2

x

-2x2，g′（x）=-

2

x2

-4x＜0，在[1，+∞）上恒成立，即g（x）在[1，+∞）上递减，
则g（x）的最大值为g（1）=0，
故a的取值范围是[0，+∞）．
（3）证明：f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]
=（

x1+x2

2

）²+

4

x1+x2

+aln（

x1+x2

2

）-

1

2

（x₁²+

2

x1

+x₂²+

2

x2

+alnx₁+alnx₂）
=-

1

4

（x₁-x₂）²+a（ln

x1+x2

2

-ln

x1x2

）+

-(x1-x2)2

(x1+x2)x1x2

由于a≤0，x₁＞0，x₂＞0，（x₁-x₂）²≥0，

x1+x2

2

≥

x1x2

，
则a（ln

x1+x2

2

-ln

x1x2

）≤0，
故f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]≤0，
即由定义可知：当a≤0时，f（x）为“下凸函数”．

点评：本题考查导数的综合运用：求单调区间、求极值和最值，考查不等式的恒成立问题转化为求最值，同时考查运用新定义证明问题，是一道中档题．