Question

已知f（x）=alnx-bx²，若函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（1）由已知条件得

f′(1)=a-2b=0 f(1)=-b=- 1 2

，由此能示出a=1，b=

1

2

．
（2）f′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

，当1≤x≤2时，f′（x）≤0，f（x）在[1，2]上是减函数，由此能求出函数f（x）在[1，2]上的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=alnx-bx²，
∴x＞0，f′(x)=

a

x

-2bx，
∵函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切，
∴

f′(1)=a-2b=0 f(1)=-b=- 1 2

，
解得a=1，b=

1

2

．
（2）f（x）=lnx-

1

2

x2，f′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

，
当1≤x≤2时，f′（x）≤0，
∴f（x）在[1，2]上是减函数，
∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=ln2-

1

2

×4=ln2-2．

点评：本题考查实数值的求法，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．