Question

设△ABC的内角A，B，c所对的边分别为a，b，c且acosC-

1

2

c=b．
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）若a=1，△ABC的周长用角B表示并求周长取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（I）由已知利用正弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式即可得出；
（II）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式、正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由acosC-

1

2

c=b，得sinAcosC-

1

2

sinC=sinB，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴

1

2

sinC=-cosAsinC，
∵sinC≠0，∴cosA=-

1

2

，
又∵0＜A＜π，∴A=

2π

3

．
（Ⅱ）由正弦定理得：b=

asinB

sinA

=

2sinB

3

，c=

2sinC

3

．
l=a+b+c=1+

2

3

(sinB+sinC)=1+

2

3

(sinB+sin(A+B))
=1+

2

3

(

1

2

sinB+

3

2

cosB)=1+

2

3

sin(B+

π

3

)．
∵A=

2π

3

，∴B∈(0，

π

3

)，∴B+

π

3

∈(

π

3

，

2π

3

)，
∴sin(B+

π

3

)∈(

3

2

，1]．
故△ABC的周长的取值范围为(2，

2 3

3

+1]．

点评：本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．