Question

已知函数f（x）=1+

3

x-2

，x∈[3，7]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题设条件对任意x₁、x₂在所给区间内比较f（x₂）-f（x₁）与0的大小即可得出f（x）在R上是减函数；
（2）根据单调性得出函数的最值即可．

解答： 解：（1）函数f（x）在x∈[3，7]上单调递减，证明如下：
设3≤x₁＜x₂≤7，
则f（x₁）-f（x₂）=

3

x1-2

-

3

x2-2

=

3(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

，
∵x₁-x₂＜0，（x₁-2）（x₂-2）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在[3，7]上的单调递减．
（2）由（1）知，∴当x∈[3，7]时，f（x）_max=2，f（x）_min=

7

4

．

点评：本题考查灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来．