Question

经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t（天）的函数，已知前30天价格为f（t）=

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t+30（1≤t≤30），t∈N），后20天价格f（t）=45，（31≤t≤50，t∈N）且销售量近似地满足g（t）=-2t+200（1≤t≤50，t∈N）
（Ⅰ）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系式；
（Ⅱ）求日销售额S的最大值．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（I）根据销售额等于销售量乘以售价得S与t的函数关系式，此关系式为分段函数；
（II）求出分段函数的最值即可．

解答： 解：（I）当1≤t≤30时，由题知S=f（t）•g（t）=（-2t+200）•（

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）=-t²+40t+6000，
当31≤t≤50时，由题知S=f（t）•g（t）=45（-2t+200）=-90t+9000，
所以日销售额S与时间t的函数关系为S=

-t2+40t+6000，1≤t≤30 -90t+9000

，t∈N；
（II）当1≤t≤30，t∈N时，S=-（t-20）²+6400，当t=20时，S_max=6400元；
当31≤t≤50，t∈N时，S=-90t+9000是减函数，当t=31时，S_max=6210元．
∵6210＜6400，
则S的最大值为6400元．

点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力．理解函数的最值及其几何意义的能力．