Question

设函数f（x）=1+

1

x

．
（1）用定义证明函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（2）判断函数f（x）的奇偶性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的单调性及单调区间

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性．

解答： 解：（1）证明：任取0＜x₁＜x₂，
∵f(x 1)-f(x 2)=1+

1

x1

-(1+

1

x2

)=

x2-x1

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
（2）∵f（1）=2，f（-1）=0，
∵f（1）≠f（-1）且f（-1）≠-f（1）
∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性的判断和证明，利用相应的定义法是解决本题的关键．