Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为2的正方形，AA₁=4．
（1）说出BD₁与平面BCC₁B₁所成角，并求出它的余弦值；
（2）指出二面角D₁-AC-D的平面角，并求出它的正切值；
（3）求该长方体的外接球的表面积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面所成的角,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结BC₁，则∠D₁BC₁就是BD₁与平面BCC₁B₁所成角，由此能求出BD₁与平面BCC₁B₁所成角的余弦值．（2）连结AC，BD，交于O，连结OD₁，则∠DOD₁是二面角D₁-AC-D的平面角，由此能求出二面角D₁-AC-D的正切值．
（3）该长方体的外接球半径R=

1

2

4+4+16

=

6

，由此能求出该长方体的外接球的表面积．

解答： 解：（1）连结BC₁，则∠D₁BC₁就是BD₁与平面BCC₁B₁所成角，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为2的正方形，AA₁=4，
∴BC₁=

4+16

=2

5

，BD₁=

4+4+16

=2

6

，
∴cos∠D₁BC₁=

BC1

BD1

=

2 5

2 6

=

30

6

．
∴BD₁与平面BCC₁B₁所成角的余弦值为

30

6

．
（2）连结AC，BD，交于O，连结OD₁，
则∠DOD₁是二面角D₁-AC-D的平面角，
∵DD₁=4，OD=

2

，
∴tan∠DOD₁=

DD1

DO

=

4

2

=2

2

．
∴二面角D₁-AC-D的正切值为2

2

．
（3）该长方体的外接球半径R=

1

2

4+4+16

=

6

，
∴该长方体的外接球的表面积S=4π×(

6

)2=24π．

点评：本题考查二面角的余弦值和正切值的求法，考查长方体的外接球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．