Question

在正三菱锥A-BCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE，BC=1，则三梭锥A-BCD的体积为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：设AB=AC=AD=x，得DF=

3

2

，EF=

AD

2

=

x

2

，设ED=y，由余弦定理得y=

1 2 + x2 4

，由勾股定理，解得x=

2

2

，由此能求出三锥锥A-BCD的体积．

解答： 解：设AB=AC=AD=x，
∵正三锥锥A-BCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE，BE=1，
∴DF=

3

2

，EF=

AD

2

=

x

2

，
在等腰三角形ABD中，AB=AD=x，BE=

x

2

，BD=1，
设ED=y，由余弦定理得y=

1 2 + x2 4

，
又EF⊥DE，由勾股定理，得EF²+ED²=DF²，即

x2

4

+y2=

3

4

，解得x=

2

2

，
∴斜边为

2

2

，过A做底面投影O，
则DO=

2DF

3

=

3

3

，AD=

2

2

，得高AO=

6

6

，
∴三锥锥A-BCD的体积V=

1

3

Sh=

1

3

×S△BCD×AO=

1

3

×（

1

2

×1×

3

2

）×

6

6

=

2

24

．
故答案为：

2

24

．

点评：本题考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．