Question

在下面表格中的n行n列空格内，第1行均已填上1，第1列依次填入首项为1，公比为q的等比数列的前n项，其他各空格均按照“任意一格内的数是它上面一格的数与它左面一格数之和”的规则填写．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q2
…	…
第n行	qn-1

（Ⅰ）设第2行的数依次为a₁，a₂，a₃，…，a_n，试用n，q，表示a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n的值；
（Ⅱ）是否存在着q，使得除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？若存在，请求出q的值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设第3列的数依次为b₁，b₂，b₃，…，b_n，对于任意非零实数q，求证：b₁+b₃＞2b₂．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）依题意，可求得a₂=1+q，a₃=1+（1+q）=2+q，…，a_n=（n-1）+q，从而可求得a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n的值；
（Ⅱ）若第k+1列的前三项成等比数列，则由等比中项的定义列式可解出q=

1-k

2

，同理当第m+1列的前三项成等比数列时，有q=

1-m

2

成立．由k≠m可得以上两个式子不能同时成立，因此无论怎样的q都不能同时找出除1列外的其他两列，使它们的前三项都成等比数列．
（Ⅲ）利用作差法，即可证明．

解答： 解：（Ⅰ）a₁=q，a₂=1+q，a₃=1+（1+q）=2+q，…，a_n=（n-1）+q，
∴a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n=1+2+…+（n-1）+nq=

n(n-1)

2

+nq；
（Ⅱ）设x₁，x₂，x₃和y₁，y₂，y₃分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n-1，
则x₁=1，x₂=k+q，x₃=（1+2+…+k）+kq+q²=

k(k+1)

2

+kq+q²
若第k+1列的前三项x₁，x₂，x₃是等比数列，则x₁x₃=x₂²
∴

k(k+1)

2

+kq+q²=（k+1）²，解得q=

1-k

2

同理，若第m+1列的前三项y₁，y₂，y₃是等比数列，则q=

1-m

2

∵当k≠m时，

1-k

2

≠

1-m

2

∴无论怎样的q，都不能同时找出除1列外的其他两列，使它们的前三项都成等比数列；
（Ⅲ）证明：∵b₁=1，b₂=2+q，b₃=3+2q+q²，
∴b₁+b₃-2b₂=q²＞0，
∴b₁+b₃＞2b₂．

点评：本题给出关于数列的二维表格，求第二行的第n项的通项公式并求前n项和，求第三列的通项满足的条件并讨论第k列的前三项成等比的问题．着重考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、不等式的证明与数列的应用等知识点，属于中档题．