Question

定义在R上的f（x）是奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x²+x-1
（1）求f（x）的表达式
（2）证明：f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的性质，利用对称性即可求f（x）的表达式
（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在这间（0，+∞）上是增函数．

解答： 解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，
若x（-∞，0），则-x∈（0，+∞），
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=x²+x-1，
∴f（-x）=x²-x-1，
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=x²-x-1=-f（x），
故此时f（x）=-x²+x+1，
即f（x）=

x2+x-1， x＞0 0， x=0 -x2+x+1， x＜0

．
（2）证明：设x₁＞x₂＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁²+x₁-1-（x₂²+x₂-1）=x₁²-x₂²+x₁-x₂=（x₁-x₂）（x₁+x₂+1），
∵x₁＞x₂＞0，
∴x₁-x₂＞0，x₁+x₂＞0
即f（x₁）-f（x₂）＞0
f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明以及函数解析式的求解，利用定义法是解决本题的关键．要求熟练掌握函数奇偶性的应用．