Question

函数f（x）=ln（x+m）+n的图象在点（1，f（1））处的切线方程是y=x-1，函数g（x）=ax²+bx（a，b∈R，a≠0）在x=2处取极值-2．
（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数）在区间（t，t+

1

2

）（t＞-1）上没有单调性，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知条件结合导数性质得函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x2-2x．
（Ⅱ）y=f（x+1）-g'（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1），从而y′=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，由此利用导数性质能求出实数t的取值范围．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x+m

，则f′(1)=

1

1+m

=1，
∴m=0，又f（1）=0，∴n=0，故函数f（x）=lnx
又g'（x）=2ax+b，
则

g′(2)=4a+b=0 g(2)=4a+2b=-2

，
解得

a= 1 2 b=-2

∴g(x)=

1

2

x2-2x．
（Ⅱ）y=f（x+1）-g'（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1），
∴y′=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
由y'＞0，解得-1＜x＜0；由y'＜0，解得x＞0．
故该函数在区间（-1，0）上为增函数，
在区间（0，+∞）上为减函数．
又y=f（x+1）-g'（x）在区间(t，t+

1

2

)上没有单调性，
则

t＜0 t+ 1 2 ＞0

，解得-

1

2

＜t＜0
故实数t的取值范围是(-

1

2

，0)．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．