Question

已知函数f（x）=log_0.2（-x²+2x+3）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数成立的条件即可求f（x）的定义域
（2）利用复合函数单调性之间的关系即可判断f（x）的单调性．
（3）利用换元法，结合对数函数，二次函数的单调性即可求f（x）的值域．

解答： 解：（1）要使函数有意义，则-x²+2x+3＞0，
即x²-2x-3＜0，即-1＜x＜3，
即f（x）的定义域为（-1，3）．
（2）设t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
则函数t=-x²+2x+3在（-1，1]上单调递增，u=log_0.2t单调递减，
则根据复合函数单调性之间的性质可知，此时函数f（x）单调递减，
则函数t=-x²+2x+3在（1，3）上单调递减，u=log_at单调递减，
则根据复合函数单调性之间的性质可知，此时函数f（x）单调递增，
即函数的单调递增区间为（1，3），单调递减区间为（-1，1]．
（3）∵t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4∈（0，4]，
∴log_0.2t≥log_0.24，
即y≥log_0.24，
即f（x）的值域[log_0.24，+∞）．

点评：本题主要考查函数定义域，值域以及单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系，结合同增异减的性质是解决本题的关键．