Question

已知函数f（x）=x³-x²-x+a．
（Ⅰ）当a=2时，求函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）有且仅有一个零点，求实数a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（I）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得出切线的方程；
（II）利用导数研究函数的单调性极值，函数y=f（x）有且仅有一个零点，必需f（x）极大值＜0，或f（x）极小值＞0，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-2x-1，
∴f′（0）=-1，
当a=2时，f（0）=2．
∴切线方程为y-2=-x，即x+y-2=0．

（Ⅱ）f′（x）=（3x+1）（x-1），
令f′（x）=0，
解得，x=-

1

3

或1．

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大	↘	极小	↗

由表格可知：f（x）极大值是f(-

1

3

)=

5

27

+a，f（x）极小值是f（1）=a-1，
函数y=f（x）有且仅有一个零点，须

5

27

+a＜0，或a-1＞0．
解得a＜-

5

27

或a＞1时，函数有且仅有一个零点．

点评：本题考查了导数的几何意义、切线的方程、利用导数研究函数的单调性极值解决函数y=f（x）有且仅有一个零点满足的条件，考查了推理能力和计算能力，属于难题．