Question

设函数f（x）=x|x-a|+b．
（1）若b=-1，且f（1）≥0，求实数a的取值范围；
（2）若a=1，b=2，解不等式f（x）＜0，
（3）设常数b＜2

2

-3，且对任意的x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）由题意，|1-a|-1≥0，即可求实数a的取值范围；
（2）不等式可化为x|x-1|+2＜0，分类讨论，可得结论；
（3）分类讨论：①当x=0时a取任意实数不等式恒成立；②当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，再转化为x+

b

x

＜a＜x-

b

x

恒成立问题，下面利用函数g（x）=x+

b

x

的最值即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）由题意，|1-a|-1≥0，∴a≤0或a≥2；
（2）不等式可化为x|x-1|+2＜0，即

x≥1 x2-x+2＜0

或

x＜1 x2-x-2＞0

∴x＜1，
∴不等式的解集为{x|x＜1}；
（3）由b＜2

2

-3＜0，当x=0时a取任意实数不等式恒成立
当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

恒成立
令g（x）=x+

b

x

在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b
令h（x）=x-

b

x

，则h（x）在（0，

-b

]上单调递减，[

-b

，+∞）单调递增
1°当b＜-1时h（x）=x-

b

x

在0＜x≤1上单调递减
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．
2°当-1≤b＜2

2

-3时，h（x）=x-

b

x

≥2

-b

，
∴a＜h_min（x）=2

-b

，∴1+b＜a＜2

-b

．

点评：本小题主要考查充要条件、函数奇偶性与单调性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于难题．