Question

若A={x∈R|2^x＞1}，B={y∈R|y=x+

4

x

，其中x≠0}，则A∪B=

 

．

Answer 1

考点：并集及其运算

专题：集合

分析：由指数函数的性质求2^x＞1解集，即求出集合A，利用基本不等式求出函数y=x+

4

x

的值域，即求出集合B，再由并集的运算求出A∪B．

解答： 解：由2^x＞1得，x＞0，则A={x∈R|x＞1}，
由y=x+

4

x

（x≠0）知，
当x＞0时，x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4（当且仅当x=

4

x

时取等号），
∴y=x+

4

x

≥4，
当x＜0时，-x+（-

4

x

）≥2

x• 4 x

=4（当且仅当-x=-

4

x

时取等号）
∴y=x+

4

x

≤-4，
综上得，y≥4或y≤-4，则B={y∈R|y≥4或y≤-4}，
∴A∪B={x∈R|x＞1或x≤-4}，
故答案为：{x∈R|x＞1或x≤-4}．

点评：本题考查了并集及其运算，指数函数的性质，以及基本不等式求函数最值．