Question

已知幂函数f（x）=（m²-2m-2）x^m-1为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调递减函数，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论函数F（x）=a

f(x)

-

b

xf(x)

的奇偶性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据幂函数的性质建立条件关系即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据函数奇偶性的定义讨论a，b的取值，即可得到函数F（x）=a

f(x)

-

b

xf(x)

的奇偶性．

解答： 解：（1）由f（x）为幂函数，得m²-2m-2=1，即m²-2m-3=0，解得m=-1或m=3，
∵f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上为减函数
∴m-1＜0，即m＜1，即m=-1，则f（x）=x^-2．
（2）∵F（x）=a

f(x)

-

b

xf(x)

=

a

|x|

-bx，
∴当a=0，b≠0时，F（x）为奇函数；
当a≠0，b=0，时，F（x）为偶函数；                        
当a=b=0时，F（x）既是奇函数又是偶函数；
当a≠0且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数．

点评：本题主要考查幂函数的应用，以及函数奇偶性的判断，根据幂函数的性质确定函数的解析式是解决本题的关键．