Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

2

，且前n项和S_n满足：S_n=n²a_n，求a₂，a₃，a₄，猜想{a_n}的通项公式，并加以证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用数列的前n项和与第n项的关系，得到关于数列的递推关系式，即可求得此数列的前几项．猜想数列的通项公式，用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k时，猜想成立，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答： 解：（1）∵a₁=

1

2

，且前n项和S_n满足：S_n=n²a_n，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴a_n+1=

n

n+2

a_n，
∴a₂=

1

6

，a₃=

1

12

，a₄=

1

20

，
（2）猜测a_n=

1

n(n+1)

；下面用数学归纳法证
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即a_k=

1

k(k+1)

则当n=k+1时，a_k+1=

k

k+2

a_k=

k

k+2

×

1

k(k+1)

=

1

(k+1)(k+2)

故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N^*，都有a_n=

1

n(n+1)

成立．

点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．