Question

已知函数f（x）=lnx+

2a

x

，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象上的点都在直线y=2的上方，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）在x=1处取得极值，可得f′（1）=0，即可求a的值；
（Ⅱ）函数f（x）的图象上的点都在直线y=2的上方，可得lnx+

2a

x

≥2在（0，+∞）上恒成立，即2a≥2x-xlnx，求出右边的最大值，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx+

2a

x

，
∴f′（x）=

1

x

-

2a

x2

，
∵函数f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，
∴1-2a=0，
∴a=

1

2

；
（Ⅱ）∵函数f（x）的图象上的点都在直线y=2的上方，
∴lnx+

2a

x

≥2在（0，+∞）上恒成立，
∴2a≥2x-xlnx，
令y=2x-xlnx，则y′=2-lnx-1=1-lnx，
∴函数在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
∴x=e时，函数取得最大值2e-elne=e，
∴2a≥e，
∴a≥

e

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查分离参数法的运用，属于中档题．