Question

已知函数f（x）=ax-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=2处切线的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞0时，求f（x）在区间（0，e]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=x-lnx，f′(x)=

x-1

x

(x＞0)，由此能求出曲线y=f（x）在x=2处切线的斜率．
（Ⅱ）f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

(x＞0)，由此根据a≤0，a＞0进行分类讨论，结合导数性质求出当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为(0，

1

a

)，单调递增区间为(

1

a

，+∞)．
（Ⅲ）根据（Ⅱ）得到的结论，得到当0＜a＜

1

e

时，f（x）在区间（0，e]上的最小值为ae-1，当a≥

1

e

，f（x）在区间（0，e]上的最小值为1+lna．

解答： （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=x-lnx，f′(x)=

x-1

x

(x＞0)，（2分）
故曲线y=f（x）在x=2处切线的斜率为

1

2

．（4分）
（Ⅱ）f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

(x＞0)．（6分）
①当a≤0时，由于x＞0，故ax-1＜0，f'（x）＜0．
所以，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．（8分）
②当a＞0时，由f'（x）=0，得x=

1

a

．
在区间(0，

1

a

)上，f'（x）＜0，在区间(

1

a

，+∞)上，f'（x）＞0．
所以，函数f（x）的单调递减区间为(0，

1

a

)，
单调递增区间为(

1

a

，+∞)．（10分）
综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为(0，

1

a

)，单调递增区间为(

1

a

，+∞)．（11分）
（Ⅲ）根据（Ⅱ）得到的结论，
当

1

a

＞e，即0＜a＜

1

e

时，
f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e），f（e）=ae-1．（13分）
当

1

a

≤e，即a≥

1

e

时，f（x）在区间（0，e]上的最小值为f(

1

a

)，
f(

1

a

)=1-ln

1

a

=1+lna．
综上，当0＜a＜

1

e

时，f（x）在区间（0，e]上的最小值为ae-1，
当a≥

1

e

，f（x）在区间（0，e]上的最小值为1+lna．（14分）

点评：本题考查切线斜率的求法，考查函数的单调区间的求法，考查函数的极值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．