Question

已知数列{a_n}满足a₁+

a2

2

+…+

an

n

=2ⁿ-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

2n-1

(n+1)an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a₁+

a2

2

+…+

an

n

=2ⁿ-1⇒a₁+

a2

2

+…+

an-1

n-1

=2^n-1-1（n≥2），两式相减即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=n•2^n-1，利用裂项法可求得b_n=

2n-1

(n+1)an

=

2n-1

n(n+1)2n-1

=

1

n(n-1)

=

1

n

-

1

n+1

，从而可求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁+

a2

2

+…+

an

n

=2ⁿ-1，①
∴当n≥2时，a₁+

a2

2

+…+

an-1

n-1

=2^n-1-1，②
①-②得：

an

n

=2^n-1，
∴a_n=n•2^n-1；
（Ⅱ）∵b_n=

2n-1

(n+1)an

=

2n-1

n(n+1)2n-1

=

1

n(n-1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查数列的递推关系的应用，突出裂项法求和的考查，属于中档题．