Question

已知函数f（x）=x²-2x+4
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）指出函数f（x）的单调递增区间，并用单调性的定义证明；
（3）求函数y=f（x），x∈[t，t+1]的最小值．

Answer 1

考点：函数的图象,二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）列表描点连线即可得出函数的图象，
（2）先由图象得到函数的单调区间，再利用定义证明即可，
（3）进行分类讨论，得到函数耳朵最小值．

解答： 解：（1）列表

x	…	-1	0	1	2	3	…
f（x）	…	7	4	3	4	7	…

描点连线图象如图所示，
（2）由图象可知，函数f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，∞）上单调递增，
理由如下，设x₁，＜x₂∈（（-∞，1），则f（x₁）-f（x₂）=x₁²-2x₁+4-（x₂²-2x₂+4）=x₁²-2x₁-x₂²+2x₂=（x₁+x₂）（x₁-x₂）-2（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（（x₁+x₂）-2），
∵x₁，＜x₂∈（（-∞，1），
∴x₁-x₂＜0，（x₁+x₂）-2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，
同理可证函数f（x）在（1，∞）上单调递增，
（3）当t≥1时，函数f（x）在∈[t，t+1]上单调递增，故f（x）_min=f（t）=3t²-2t+4，
当t≤0时，函数f（x）在∈[t，t+1]上单调递减，故f（x）_min=f（t+1）=3（t+1）²-2（t+1）+4=3t²+4t+5，
当0＜t＜1时，f（x）_min=f（1）=3，

点评：本题主要考查了函数的图象单调性，最值，属于基础题．