Question

已知函数f（x）=xe^x-a（

1

2

x²+x）（e=2.718..）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求函数在区间[-1，1]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（I）利用导数研究函数的单调性极值即可．
（II）f′（x）=e^x+xe^x-a（x+1）=（x+1）（ae^x-1）．对a分类讨论：当a≤

1

e

时，当a＞

1

e

时，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可．

解答： 解：（I）当a=1时，f（x）=xe^x-（

1

2

x²+x），f′（x）=e^x+xe^x-x-1=（x+1）（e^x-1），
令f′（x）=0，解得x=-1或x=0．令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得-1＜x＜0，此时函数f（x）单调递减法．
∴当x=-1时，函数f（x）取得极大值，f（-1）=

1

2

-

1

e

；当x=0时，函数f（x）取得极小值，f（0）=0．
（II）f′（x）=e^x+xe^x-a（x+1）=（x+1）（ae^x-1）．
①当a≤

1

e

时，ae^x-1＜0，由x≥-1，可得f′（x）≤0，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=1时，函数f（x）取得最小值，f（1）=e-

3

2

a．
②当a＞

1

e

时，由ae^x-1=0，解得x=-lna．
当-1≤x＜-lna时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当-lna＜x≤1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴当x=-lna时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（-lna）=-

1

2

ln2a+(1-

1

a

)lna．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．