Question

已知函数f（x）=

2x2+bx+c

x2+1

，满足f（1）=1，f（2）=

6

5

．
（1）求f（x）的表达式；
（2）判断函数F（x）=lg[f（x）]在x∈[-1，1]上的单调性，并证明；
（3）若m∈R，求F（|m-

1

4

|-|m+

1

4

|）的值域．

Answer 1

考点：函数的值域,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把f（1）=1，f（2）=

6

5

代入解得即可，
（2）根据复合函数的单调性，利用导数判断函数f（x）单调性，问题得以解决．
（3）先求出（|m-

1

4

|-|m+

1

4

|）的范围，再根据函数F（x）单调性，求得值域．

解答： 解：（1）由 f（1）=

1

2

（a+b+c）=1，f（2）=

1

5

（8+2b+c）=

6

5

，
解得b=-2，c=2，
∴f（x）=

2x2-2x+2

x2+1

，
（2）F（x）=lg[f（x）]在x∈[-1，1]上的单调递减，
∵设u=f（x）=

2x2-2x+2

x2+1

=2-

2x

x2+1

，
∴f′（x）=

2(x2-1)

(x2+1)2

，
∵x∈[-1，1]
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈[-1，1]上的单调递减，
而y=lgu增函数，
∴F（x）=lg[f（x）]在x∈[-1，1]上的单调递减，
（3）∵|m-

1

4

|-|m+

1

4

|≤m-

1

4

-（m+

1

4

）=

1

2

，
∴-

1

2

≤|m-

1

4

|-|m+

1

4

|≤

1

2

，
由（2）知F（x）在x∈[-1，1]上的单调递减，
∴F（

1

2

）≤F（|m-

1

4

|-|m+

1

4

|）≤F（-

1

2

）
∵F（

1

2

）=lg

6

5

，F（-

1

2

）=lg

14

5

，
∴F（|m-

1

4

|-|m+

1

4

|）的值域为[lg

6

5

，lg

14

5

]

点评：本题主要考查了函数解析式，复合函数的单调性，函数的值域，属于中档题．