Question

函数f（x）=x³+ax与g（x）=2x²+b的图象有公共点（1，f（1）），且它们的图象在该点处的切线相同，记F（x）=f（x）-g（x）．
（1）求F（x）的表达式，并求F（x）在[0，1]上的值域；
（2）设t≤-1，函数G（x）=x³-3t²x-2t，x∈[0，1]，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得G（x₀）=F（x₁），求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导函数，利用函数f（x）=x³+ax与g（x）=2x²+b的图象在x=1处有相同的切线，建立方程，即可求a，b的值；
（2）求出函数G（x）的导数，求出函数的单调性和值域，即可得到结论．

解答： 解：（1）函数的导数为f′（x）=3x²+a，g′（x）=4x，
由条件知f（1）=g（1）且f′（1）=g′（1）
∴1+a=2+b且3+a=4，
∴a=1，b=0；
则f（x）=x³+x与g（x）=2x²，F（x）=f（x）-g（x）=x³-2x²+x，
由F′（x）=3x²-4x+1=3（x-1）（x-

1

3

）=0，得x=1或x=

1

3

，
则列表如下：

x	0	（0， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1
F′（x）		+	0	-
F（x）	0	递增	极大值 4 27	递减	0

则函数的最大值为F（

1

3

）=

4

27

，最小值为F（0）=F（1）=0，
即函数的值域为[0，

4

27

]．
（2）G′（x）=3x²-3t²，
∵x∈[0，1]，t≤-1，
∴G′（x）≤0，即G（x）在[0，1]上单调递减，
则G（x）∈[G（1），G（0）]，
即G（x）∈[1-3t²-2t，-2t]，
以题意可得[0，

4

27

]⊆[1-3t²-2t，-2t]，
即

1-3t2-2t≤0 -2t≥ 4 27

，解得t≤-1，
故实数t的取值范围是（-∞，-1]．

点评：本题主要考查函数的值域的求解，求函数的导数，利用函数单调性，值域和导数的关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．