Question

已知函数f（x）=x²+ax+2，g（x）=2e^x（x+b），若曲线y=g（x）经过点P（0，2），且在点P处曲线y=f（x）和y=g（x）有相同的切线．（e是自然对数的底数）
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若F（x）=x（f（x）+2），如果存在x₁，x₂∈[-3，-1]，使得F（x₁）-F（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（Ⅲ）当k＞1，讨论方程kg（x）-f（x）=0在x∈[2，+∞）上解的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数的最值及其几何意义,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把点P（0，2）代入g（x）求出b的值，再求出g′（x）以及切线得斜率，求出f′（x）再由斜率相等求出a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出得F（x）的解析式，求出导数F′（x）后，再求出函数F（x）的单调区间、最大值和最小值，然后求出F（x）_max-F（x）_min，从而求出满足条件的最大整数M；
（Ⅲ）根据条件构造函数h（x）=kg（x）-f（x），再求出h′（x），由k和x范围判断出函数h（x）的单调性，求出函数h（x）的范围，判断出函数h（x）的图象与x轴交点个数，从而判断出方程的解的个数．

解答： 解：（Ⅰ）∵曲线g（x）=2e^x（x+b）经过点P（0，2），
∴2b=2，则b=1，
∴g（x）=2e^x（x+1），则g′（x）=2e^x（x+2），
∴在点P（0，2）处曲线y=g（x）的切线的斜率是k=4，
∵f′（x）=2x+a，且在点P处曲线y=f（x）和y=g（x）有相同的切线，
∴a=4，
故a，b的值分别为4、1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，F（x）=x（f（x）+2）=x（x²+4x+4）=x³+4x²+4x，
∴F′（x）=3x²+8x+4=（3x+2）（x+2），则当x=-2或x=-

2

3

时，F′（x）=0，
∴当x∈（-3，-2）时，F′（x）＞0，则函数F（x）在∈（-3，-2）单调递增；
当x∈（-2，-1）时，F′（x）＜0，则函数F（x）在∈（-2，-1）单调递减；
∴x∈[-3，-1]时，函数F（x）最大值是F（-2）=0，
又∴F（-3）=-3，F（-1）=-1，则函数F（x）最小值是-3，
∵存在x₁，x₂∈[-3，-1]，使得F（x₁）-F（x₂）≥M成立，
∴[F（x₁）-F（x₂）]_max=F（x）_max-F（x）_min=0-（-3）=3≥M，
则满足条件的最大整数M是3；
（Ⅲ）由（I）知，f（x）=x²+4x+2，g（x）=2e^x（x+1），
设h（x）=kg（x）-f（x）=2ke^x（x+1）-x²-4x-2，
则h′（x）=2ke^x（x+2）-2x-4=2（x+2）（ke^x-1），
由题意得，k＞1且x∈[2，+∞），所以x+2＞0，ke^x-1＞0，
∴h′（x）＞0，则h（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（2）=6ke²-14＞0，
即函数h（x）的图象在[2，+∞）上与x轴无交点，
故方程kg（x）-f（x）=0在[2，+∞）上解的个数是0个．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，方程的实数根与函数图象的关系，以及函数恒成立问题和利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查了转化与化归的思想，属于中档题．