Question

已知函数f（x）=x|m-x|（x∈R），且f（4）=0．
（1）求实数m的值
（2）作出函数f（x）的图象，并判断其零点个数
（3）根据图象指出f（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用f（4）=0，建立方程关系即可求实数m的值
（2）将函数表示为分段函数形式，利用分段函数即可作出函数f（x）的图象，并判断其零点个数．
（3）根据图象即可求出f（x）的单调递减区间．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x|m-x|（x∈R），且f（4）=0．
∴f（4）=4|m-4|=0得m=4．
（2）∵m=4，∴f（x）=x|4-x|，
即f（x）=

x(4-x，) x≤4 x(x-4)， x＞4

图象如右图：
由图象可见，零点有2个．
（3）由图象可知函数的单调减区间为[2，4]．

点评：本题主要考查函数解析式和图象的做法，以及利用函数图象确定函数零点和单调性问题，比较基础．