Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点．
（Ⅰ）求证：BD₁∥平面AEC；
（Ⅱ）求证：BD₁⊥平面ACB₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连结EO，由已知得EO∥BD₁，由此能证明BD₁∥平面AEC．
（Ⅱ）正方形ABCD中，BD⊥AC，由已知得DD₁⊥AC，从而AC⊥BD₁，同理可证AB₁⊥BD₁，由此能证明BD₁⊥平面ACB₁．

解答： 证明：（Ⅰ）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连结EO，
∵EO为△D₁DB的中位线，
∴EO∥BD₁，
又EO?平面AEC，BD₁不包含于平面AEC，
∴BD₁∥平面AEC．
（Ⅱ）正方形ABCD中BD⊥AC，
∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD₁⊥AC，
∵DD₁∩DB=D，∴AC⊥平面D₁DB，
且D₁B?平面D₁DB，∴AC⊥BD₁，
同理可证AB₁⊥BD₁，又AC∩AB₁=A，
∴BD₁⊥平面ACB₁．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．