Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC=1，AB=2，F为CE的中点，
（Ⅰ）求证：AE∥平面BDF；
（Ⅱ）求证：平面BDF⊥平面ACE；
（Ⅲ）求四棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）设AC∩BD=G，连接FG，由题意知G是AC的中点，由已知得FG∥AE，由此能证明AE∥平面BFD．
（Ⅱ）由已知得BC⊥平面ABE，BC⊥AE，从而AE⊥平面BCE，进而AE⊥BF．再由BF⊥CE，得BF⊥平面ACE，由此能证明平面BDF⊥平面ACE．
（Ⅲ）设E到平面ABCD的距离为h，则h是△ABE的高，由等积法求出h=

3

2

，由此能求出四棱锥E-ABCD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：设AC∩BD=G，连接FG，由题意知G是AC的中点，
∵F是EC中点，由三角形中位线的性质可得 FG∥AE，
∵AE?平面BFD，FG?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．
（Ⅱ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE=AB，∴BC⊥平面ABE，
又∵AE?平面ABE，∴BC⊥AE，
又∵AE⊥BE，BC∩BE=B，
∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BF．
在△BCE中，BE=CB，F为CE的中点，
∴BF⊥CE，AE∩CE=E，∴BF⊥平面ACE，
又BF?平面BDF，∴平面BDF⊥平面ACE．
（Ⅲ）解：∵底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，
∠AEB=90°，BE=BC=1，AB=2，F为CE的中点，
∴AE=

4-1

=

3

，
设E到平面ABCD的距离为h，则h是△ABE的高，
∴

1

2

×2h=

1

2

×

3

×1，解得h=

3

2

，
∴四棱锥E-ABCD的体积：
V=

1

3

×S矩形ABCD×h=

1

3

×2×1×

3

2

=

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．