Question

已知函数f（x）=（x²-2x+2-k）e^x，k∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[0，1]上的最小值为e，求k的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+2-k）e^x=（x²-k）e^x，由k的取值范围进行分类讨论，利用导数的性质能求出f（x）的单调区间．
（Ⅱ）由k≤0，k≥1，0＜k＜1三种情况进行分类讨论，利用导数性质能求出k=2-e．

解答： （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+2-k）e^x=（x²-k）e^x．（3分）
当k＜0时，f'（x）＞0，函数f（x）在R上是增函数．
当k=0时，在区间（-∞，0）和（0，+∞）上f'（x）＞0，f'（0）=0，
函数f（x）在R上是增函数．（5分）
当k＞0时，解f'（x）＞0，得x＞

k

，或x＜-

k

．
解f'（x）＜0，得-

k

＜x＜

k

．
所以函数f（x）在区间(-∞，-

k

)和(

k

，+∞)上是增函数，
在区间(-

k

，

k

)上是减函数．
综上，当k≤0时，（-∞，+∞）是函数f（x）的单调增区间；
当k＞0时，(-∞，-

k

)和(

k

，+∞)是函数f（x）的单调递增区间，
(-

k

，

k

)是函数f（x）的单调递减区间．
（7分）
（Ⅱ）当k≤0时，函数f（x）在R上是增函数，
所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0），
依题意，f（0）=2-k=e，解得k=2-e，符合题意．（8分）
当

k

≥1，即k≥1时，函数f（x）在区间[0，1]上是减函数．
所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1），
解f（1）=（1-k）e=e，得k=0，不符合题意．（9分）
当

k

＜1，即0＜k＜1时，
函数f（x）在区间[0，

k

]上是减函数，在区间[

k

，1]上是增函数．
所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f(

k

)，（10分）
解f(

k

)=(2-2

k

)e

k

=e，即(2-2

k

)=e1-

k

，
设h（t）=e^t-2t，t∈（0，1），（11分）
h'（t）=e^t-2，则在区间（0，ln2）上h'（t）＜0，
在区间（ln2，1）上h'（t）＞0，
所以h（t）在区间（0，1）上的最小值为h（ln2），（12分）
又h（ln2）=e^ln2-2ln2=2-2ln2＞0，（13分）
所以e^t-2t=0在区间（0，1）上无解，
所以(2-2

k

)=e1-

k

在区间（0，1）上无解，（14分）
综上，k=2-e．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．